6.2 狭义相对论与 μ 子佯谬

来源： 考纲 §6 · 课堂笔记 §3.3.8

μ 子佯谬是狭义相对论的直接证据——也是老师爱追问的题。

问题（逐步）。 μ 子是次级射线里的不稳定粒子；它在 $h\approx 20$ km 高空产生，平均寿命只有 ${\tau }_{\mu }=2,2\cdot {10}^{-6}$ s。先按经典算算它能走多远：

1. 经典最大射程 = 最大可能速度 $\times$ 寿命。没有比光更快的，故 $v\le c$：$d_{\text{max}}=c\cdot {\tau }_{\mu }$。
2. 代入： $d_{\text{max}}=3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 2,2\cdot {10}^{-6}\text{s}\approx 660$ m。
3. $660$ m 远不够 20 km——经典上 μ 子永远到不了地面。可我们在地面却测到了它们。 为什么？

解释（爱因斯坦 1905）： 时间和长度不是绝对的，而是依赖于参考系。化解佯谬有两条完全等价的途径——取决于站在谁的角度算。

途径 A——时间膨胀（从地球看）

$$t_b=\frac{t_e}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}$$

符号	含义	单位
$t_e$	固有时间——在随动系（μ 子的钟）中测得，是较短的时间	s
$t_b$	静止观察者（地球）测得的时间，是较长的时间	s
$v$	相对速度	m/s
$c$	光速 $\approx 3\cdot {10}^8$	m/s

时间膨胀： 运动的钟走得更慢。根式总小于 1（因为 $v^2/c^2<1$），所以 $t_b$ 总比 $t_e$ 大——静止的地球钟测得更长的时间。应用逻辑：

1. 寿命 ${\tau }_{\mu }=2,2\mu$s 是 μ 子用自己的钟测得的——这是固有时间 $t_e$（钟相对 μ 子静止）。
2. 我们在地面看到 μ 子的钟走得更慢；对我们而言 μ 子「活」的是更长的时间 $t_b={\displaystyle \frac{t_e}{\sqrt{1-v^2/c^2}}}$。
3. 在这更长的时间里，它以近 $c$ 走过 $d=v\cdot t_b\gg 660$ m——当 $v\approx \mathrm{0,999}5c$ 时 $t_b$ 约为 $t_e$ 的 32 倍，即 $d\approx 32\cdot 660\text{m}\approx 21$ km。于是对我们而言 μ 子「活」得足够久，能走完 20 km。

途径 B——长度收缩（从 μ 子看）

$${\ell }_b={\ell }_e\cdot \sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}$$

${\ell }_e\dots$ 在它静止的那个系里测得的长度（对我们：20 km 大气），是较长的长度；${\ell }_b\dots$ 在运动系（μ 子视角）里的长度，是较短的。长度收缩： 运动的距离被缩短。

1. μ 子**「感觉」自己短暂的寿命** ${\tau }_{\mu }=2,2\mu$s 一切正常——对它自己而言并没有活得更久。
2. 但从它的角度看，大气是迎面飞来的，并因此被缩短了：不是 20 km，而只有 ${\ell }_b=20\text{km}\cdot \sqrt{1-v^2/c^2}$——当 $v\approx \mathrm{0,999}5c$ 时只剩约 630 m。
3. 这段短距离，μ 子用它短暂的寿命刚好走完：${\ell }_b\approx 630\text{m}\le v\cdot {\tau }_{\mu }\approx 660$ m。

两种描述完全等价——给出同一个结果（μ 子到达地面），只是参考系不同：一方眼里的被拉长的时间，正是另一方眼里的被缩短的距离。

✎ 重要细节： • 当事者本人毫无察觉——从自身看一切正常，只是外部世界变了。 • 因为是 $v^2$，效应只在接近 $c$ 时才剧烈。对光子而言，时间完全不流逝。同一个根式 $\sqrt{1-v^2/c^2}$ 也是相对论质量增加（速度越大，物体的质量越大，当 $v\to c$ 时趋于无穷大——所以任何有静止质量的物体都永远达不到 $c$）的背后原因。 • ✎ 注意写法： 考纲/课堂笔记把公式写成 $t_b=t_r\sqrt{1-v^2/c^2}$——那里 $t_b$ 是运动系里的时间（固有时间），$t_r$ 是静止观察者的时间。这与上面是同一个公式，只是移项、下标命名不同；内容不变：运动的钟显示的时间更少。 • ✎ ${\tau }_{\mu }$ 是平均值（指数衰变）。经典上只有约 ${\mathrm{e}}^{-20000/660}\approx {10}^{-13}$ 的份额能到达——实际上一个都到不了。但实测到达的是相当大的比例→ 经典物理不是「差一点」，而是彻底失败。